Matemática discreta Ejemplos

$\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 25$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}^{2} = 25^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ como ${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 25^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{1} = 25^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 25^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Eleva $25$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 625$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Resta $625$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 625 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2 y$ y $c = y^{2} - 625$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Agrega paréntesis.

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Sea $u = 1 \cdot (y^{2} - 625)$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $1 \cdot (y^{2} - 625)$ .

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Paso 3.4.1.2.1

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 y^{2} - 4 u$ .

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Paso 3.4.1.3.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3.2

Factoriza $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 \cdot (y^{2} - 625)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (1 \cdot (y^{2} - 625)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Simplifica.

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Paso 3.4.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.5.1.1

Multiplica $y^{2} - 625$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.2

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (0 + 625)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.3

Suma $0$ y $625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 \cdot 625}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6

Multiplica $4$ por $625$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2500}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7

Reescribe $2500$ como $50^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{50^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{- 2 y \pm 50}{2}$ .

$x = - y \pm 25$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$